Разложить на линейные множители над полем...

Задание:

Разложить на линейные множители над полем комплексных чисел многочлен:

x³ - 6x² + 11x - 6

Решение:

В задании нам нужно разложить на линейные множители, это значит, что степень неизвесного должна быть равна единице.

Для начала уменьшим степень многочлена методом подбора, для этого найдем все делители свободного члена (числа 6): таковыми делителями являются 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, для начала нам достаточно найти один корень уравнения. Приравняем многочлен к нулю:

x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

По очереди подставим делители в многочлен и найдем хотя бы один корень:
Возьмем x = 1:
1^3 - 6 * 1^2 + 11 * 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0, нам повезло, мы сразу же выявили, что единица является корнем уравнения. Поделим столбиком наш многочлен на (x-1), получаем:

x³ - 6x² + 11x - 6 = (x-1)(x²-5x+6), для тех, кто не понял, как мы это получили, советуем разобраться, как делить многочлены столбиком.

Теперь приравняем наше квадратное уравнение к нулю и решим его по теореме Виета:

x² - 5x + 6 = 0

x₁ + x₂ = 5  отсюда  x₁ = 2
x₁ * x₂ = 6                  x₂ = 3

Нашли корни, это значит, что наше квадратное уравнение мы можем разложить следующим образом:
(x²-5x+6) = (x-2)(x-3), для проверки можете раскрыть скобки.

А значит перепишем наш многочлен в следующем виде:

x³ - 6x² + 11x - 6 = (x-1)(x²-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3), как видим степень икса равна единице, значит мы разложили наш многочлен на линейные множители, все корни принадлежат множеству комплексных чисел.

Ответ: (x-1)(x-2)(x-3)