Сходимость числового ряда. Свойства рядов

Сходимость числового ряда. Свойства сходящихся числовых рядов

Числовым рядом называется формальное выражение вида  , где x_k  члены некоторой последовательности (они называются также членами ряда). Мы придадим точный смысл выражению (5.1), указав условия, при которых этому выражению можно сопоставить некоторое число, называемое суммой ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Числа  называются частичными суммами числового ряда (в дальнейшем просто ряда) (5.1). Суммой ряда (5.1) называется конечный предел последовательности частичных сумм. Этот предел обозначается тем же символом, что ряд (5.1). В последнем случае, если , то мы будем уточнять, что ряд (5.1) расходится к ±∞ или ∞ соответственно.

Ясно, что любую теорему о последовательностях можно сформулировать на языке рядов (полагая x1 = S₁, xn = S_n − S_n−1 при n > 1) и обратно. Но тем не менее мы будем различать эти понятия.

ПРИМЕР 5.1. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию {aq^k}, |q| < 1. Поскольку последовательность частичных сумм  сходится к , то перед нами первый сходящийся ряд 

ПРИМЕР 5.2. Рассмотрим ряд . Если расставить скобки так (1 − 1) + (1 − 1) + . . . , то в результате получим нуль, если иначе 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − . . . , то в результате получим единицу. Объяснение в том, что перед нами расходящийся ряд, так как его частичные суммы образуют расходящуюся последовательность {1, 0, 1, 0, . . .}.

ТЕОРЕМА 5.1. Ряд (5.1) сходится точно тогда, когда ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N 

Доказательство:

⊲ По определению 5.1 ряд (5.1) сходится, если существует конечный предел его частичных сумм. В силу критерия Коши для последовательностей конечный предел последовательности {Sn} существует точно тогда, когда ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N (|S_n+p − Sn| < ε).
Осталось заметить, что  ⊳

СЛЕДСТВИЕ 5.1. Если ряд (5.1) сходится, то .

Доказательство:

⊳ Пусть ряд (5.1) сходится. Тогда, положив в (5.2) p = 1, получим
требуемое. ⊲

Утверждение следствия 5.1 называется необходимым признаком
сходимости ряда. Тот факт, что этот признак не может быть достаточным, показывает следующий

ПРИМЕР 5.3. Рассмотрим гармонический ряд . Очевидно,что . Но последовательность частичных сумм этого ряда, расходится по критерию Коши.
Теперь рассмотрим свойства сходящихся рядов.

ТЕОРЕМА 5.2. (i) Если сходится ряд , то сходится и ряд  при любом c ∈ R, причем . (ii) Если сходятся ряды , то сходится и ряд , причем .