Стрелок ведёт стрельбу по закрывающимся 4n - 1 (n ∈...

Задание:

Стрелок ведёт стрельбу по закрывающимся 4n - 1 (n ∈ N, n > 1 ) мишеням, расположенным в одну линию друг за другом. Результаты стрельбы заносятся в одну строку, состоящую из 4n - 1 клеток. Если мишень поражена, то в соответствующую клетку заносится 1 , если нет, то 0. Если в средней клетке этой строки 1 , а в симметричных относительно неё числа одинаковые, то результат называется «исключительным». Если же число единиц больше числа нулей, то — «проходным».

а) Укажите число всех возможных различных результатов при n = 3.

б) Укажите число всех возможных различных «исключительных» результатов при n = 2 .

в) Найдите формулу, по которой можно находить число всех возможных различных результатов, которые одновременно являются «проходными» и «исключительными».

г) Укажите наибольшее значение n, при котором число всех возможных различных результатов, указанных в пункте в), меньше 1700.

Решение:

а) При n = 3 строка ответов состоит из 11 клеток, в каждую из которых записывается 1 или 0. Выясним, каким числом способов можно заполнить эту строку. Первую клетку из 11 можно заполнить 2 способами (записать в неё 1 или 0). Если первая клетка уже заполнена, то вторую клетку также можно заполнить 2 способами. Значит, первые две клетки можно заполнить 4 способами (2 * 2 = 2²). Если первые две клетки уже заполнены, то третью клетку можно опять заполнить 2 способами. Значит, три клетки можно заполнить 8 способами (2² * 2 = 2³). Рассуждая аналогично, получаем, что 11 клеток можно заполнить 2¹¹ способами, 2¹¹ = 2048. При n = 3 число возможных результатов равно 2048.

б) При n = 2 строка ответов состоит из 7 клеток, в каждую из которых записывается 1 или 0. Так как в средней клетке строки уже записана 1, а в симметричные относительно неё клетки записываются одинаковые числа, то для заполнения всех 7 клеток надо заполнить лишь 3 первые клетки. Последние три будут им попарно симметричны относительно средней клетки, и заполняются они одинаково. Из пункта а) следует, что таких возможностей 2³ = 8. Число возможных различных «исключительных» результатов при n = 2 равно 8.

в) Покажем, что число всех различных одновременно «уникальных» и «проходных» результатов при произвольном значении n равно 4ⁿ⁻¹. Так как n > 1, то n = k+1 (k ∈ Z), тогда 4n − 1 = 4k + 3. По условию в средней клетке (её номер 2k + 2) содержится 1. Обозначим через m количество единиц в первых 2k + 1 клетках, расположенных левее средней клетки. Тогда в этих клетках будет 2k + 1 − m нулей. Общее число единиц во всём «исключительном» результате будет равно 2m + 1, а общее число нулей равно 2(2k + 1 − m) = 4k − 2m + 2. По условию для «проходного» результата выполняется неравенство: 2m + 1 > 4k − 2m + 2, 4m > 4k + 1, m > k + 1/4, m > k + 1, так как m является натуральным числом. Заметим также, что m ≤ 2k + 1. При каждом указанном значении m число различных результатов равно C_2k+1^m. Тогда искомое число результатов равно: C_2k+1^k+1 + C_2k+1^k+2 + . . . + C_2k+1^2k + C_2k+1^2k+1. Известно, что у последовательности биномиальных коэффициентов: C_2k+1⁰, C_2k+1¹,. . . , C_2k+1^k−1, C_2k+1^k, C_2k+1^k+1, C_2k+1^k+2, . . . , C_2k+1^2k, C_2k+1^2k+1, коэффициенты, равноотстоящие от концов, равны. Поэтому сумма C_2k+1^k+1+C_2k+1^k+2+. . .+C_2k+1^2k+C_2k+1^2k+1, равна половине суммы всех коэффициентов. Но сумма всех биномиальных коэффициентов, как известно, равна 2^2k+1. Значит, искомая сумма равна 2^2k+1 / 2 = 2^2k = 4ⁿ⁻¹.

г) Решим неравенство 4ⁿ⁻¹ ≤ 1700. Заметим, что 4⁵ = 1024 < 1700, а 4⁶ = 4096 > 1700. Поэтому n − 1 ≤ 5, n ≤ 6. Наибольшее значение n равно 6.

Ответ: а) 2048; б) 8; в) 4ⁿ⁻¹ ; г) 6.