Все члены последовательности являются натур...

Задание:

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 4 раза больше, либо в 4 раза меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1284.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Решение:

а) Предположим, что последовательность состоит из двух членов. Пусть меньшее из чисел последовательности a, тогда второе число 4a. А сумма членов a + 4a = 5a. По условию эта сумма 1284 и она должна делиться на 5. Но 1284 не делится на 5. Наше предположение неверно, следовательно, данная последовательность не может состоять из двух членов.

б) Да, может. Например, такой является последовательность:

214; 214 · 4; 214, то есть 214; 856; 214.

в) Минимальная сумма двух стоящих подряд членов последовательности равна 5 (это возможно, если два соседних члена равны 4 и 1).

1248 = 256 * 5 + 4, значит, может быть 256 таких пар и число 4.

Значит, максимальное число членов последовательности 256 * 2 + 1 = 513.

В этом случае последовательность имеет вид: 4, 1, 4, 1, . . . , 4.

Ответ: а) нет; б) да; в) 513.