Все члены последовательности являются натураль...

Задание:

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2745.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности.

Решение:

а) Предположим, что последовательность состоит из двух членов. Пусть меньшее из чисел последовательности a, тогда второе число 7a. Сумма членов a + 7a = 8a. По условию эта сумма равна 2745 и она должна делиться на 8. Но 2745 не делится на 8. Наше предположение неверно, следовательно, данная последовательность не может состоять из двух членов.

б) Да, может. Например, такой является последовательность: 305; 305 · 7; 305, то есть 305; 2135; 305 (мы рассмотрели последовательность a, 7a, a с суммой 9a).

в) Минимальная сумма двух стоящих подряд членов последовательности равна 8 (два соседних члена равны 1 и 7). 2745 = 8 * 343 + 1, то есть 8 * 344 > 2745 и 344 пары быть не может. Таким образом, чисел меньше 344 * 2. Значит, максимальное число членов последовательности 343 * 2 + 1 = 687. В этом случае последовательность имеет вид: 1, 7, 1, 7, . . . , 1.

Ответ: а) нет; б) да; в) 687.