Все члены последовательности являются натуральными числами...

Задание:

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 6 раз больше, либо в 6 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 848.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Решение:

а) Предположим, что последовательность состоит из двух членов. Пусть a — меньшее из чисел этой последовательности, тогда второе число 6a. А сумма членов a+6a = 7a. По условию эта сумма 848 и она должна делиться на 7. Но 848 не делится на 7. Наше предположение неверно, следовательно, заданная последовательность не может состоять из двух членов.

б) Да, может. Например, такой является последовательность: 106; 106 * 6; 106, то есть 106; 636; 106.

в) Минимальная сумма двух стоящих подряд членов последовательности равна 7 (это возможно, если два соседних члена равны 1 и 6). 848 = 7 * 121 + 1. Может быть 121 такая пара и число 1. Значит, максимальное число членов последовательности может быть 121 * 2+1 = 243. В этом случае последовательность имеет вид: 1, 6, 1, 6, . . . , 1.

Ответ: а) нет; б) да; в) 243.