На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB=∠QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ=CP.

Даны три точки А, B, С, лежащие на одной прямой, и точка B , не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

Даны два треугольника: АВС и A₁В₁С₁. Известно, что АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, ∠A=∠A₁ На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А₁С₁ и В₁С₁ треугольника А₁В₁С₁ — точки К₁ и L₁ так, что АK=А₁K₁, LC=L₁C₁. Докажите, что: a) KL=K₁L₁; б) AL=A₁L₁.

Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, АМ=А₁М₁, где AM и А₁М₁ — медианы треугольников.

На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА=ОВ, AC=BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Докажите, что ΔABC=ΔA1BlC1 если ∠A=∠A1 ∠B=∠B1 BC= B1C1.

Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.