Дана правильная четырёхугольная пирамида SMNPQ...
Задание:
Дана правильная четырёхугольная пирамида SMNPQ с вершиной в точке S, сторона основания равна 7, а плоский угол при вершине пирамиды равен 90°.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ NQ основания параллельно боковому ребру PS.
б) Найдите площадь сечения.
Решение:
а) PM пересекается с NQ в точке O, при этом O — середина PM и NQ. В плоскости MSP проведём AO || SP, она пересечёт SM в середине ребра (OA — средняя линия ΔPSM). Точку A соединим с точкой N, AN лежит в плоскости MSN, точку A соединим с точкой Q, AQ лежит в плоскости MSQ. В плоскости ANQ находится прямая AO || PS, и по признаку параллельности прямой и плоскости получаем: PS || ANQ. Плоскость ANQ содержит диагональ NQ и параллельна боковому ребру PS, то есть сечение NAQ является искомым.
б) Докажем, что ΔANQ — равнобедренный, то есть AN = AQ. Это следует из равенства треугольников NAM и AMQ (по двум сторонам: MA — общая, NM = MQ — и углу: ∠AMQ = ∠AMN).
NQ = 7√2 как диагональ квадрата со стороной NM = 7. Проведём SB ⊥ MQ.
В ΔBSM: ∠SMB = 45◦ (∠QSM = 90◦ ; ΔQSM — равнобедренный), ∠BSM = 45◦ , SB = MB = 7/2.
MS = MB / sin 45◦ = 7 / √2.
Точка O — середина NQ, AO || SP, AO — средняя линия ΔMSP, AO = 1/2 * SP. AO = 7 / 2√2 = 7√2 / 4.
AO — высота ΔANQ, следовательно, Sсечения = SΔANQ = 1/2 * NQ * AO = 1/2 * 7√2 * 7√2 / 4 = (49 * 2) / 8 = 49/4 = 12,25.
Ответ: 12,25.