В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1...

Задание:

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона ос­нования равна 7, а боковое ребро — 12. На рёбрах A₁D₁, C₁D₁ и СВ взяты точки F, К , L соответственно так, что A₁F = С₁К = CL = 3.

а) Пусть Р — точка пересечения плоскости FKL с ребром АВ. До­кажите, что F KLP — прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью FKL.

Решение:

а) Найдём положение точки P. Эта точка пересечения плоскости FKL и ребра AB, лежащего в плоскости ABCD (см. рис.). Плоскость ABCD параллельна плоскости A₁B₁C₁D₁, в которой лежит отрезок KF. Плоскость F KL пересекает параллельные плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ по параллельным прямым, отсюда KF ‖ LP. Прямоугольные треугольники KD₁F и LBP равны по катету и острому углу (D₁F = LB = 4 и ∠D₁FK = ∠BLP как острые с соответственно параллельными сторонами).

Чтобы доказать, что четырёхугольник FKLP — прямоугольник, найдём длины его сторон и диагонали.

б) Пусть Q и R — точки пересечения прямой KF и прямых B₁C₁ и A₁B₁. Проведём прямые RL и QP, они пересекут рёбра CC₁ и AA₁ в точках M и N соответственно (см. рис.). Тогда RC₁ = KC₁ = CL, поэтому можно доказать, что равны треугольники RC₁M и MCL. Прямая RL, а значит, и плоскость FKL пересекают ребро CC₁ в его середине — точке M. Аналогично плоскость F KL пересекает ребро AA₁ в его середине — точке N.

В диагональном сечении CC₁A₁A, которое является прямоугольником, отрезок MN — средняя линия. В прямоугольнике MCAN противоположные стороны равны: MN = CA = 7√2.

Сечение FKMLPN состоит из двух равных трапеций MKFN и MLPN, причём мы доказали, что LK ⊥ KF и LK ⊥ LP. Высота каждой из этих трапеций равна LK/2 = 9√2/2 .

S_{сечения} = 2S_MKFN = 2 * (KF + MN)/2 * LK/2 = (4√2 + 7√2) * 9√ 2/2 = 99.

Ответ: 99.