В правильной треугольной пирамиде BMNK с осн...

Задание:

В правильной треугольной пирамиде BMNK с основанием MNK сторона основания равна 6 , а высота пирамиды равна 3. На рёбрах MN, МК и МВ соответственно отмечены точки F, Е и Р, такие, что MF = ME = √ 21 / 2 и МР = 7/4.

а) Докажите, что плоскости FEP и NBK параллельны.

б) Найдите расстояние от точки Р до плоскости NBK .

Решение:

а) Чтобы доказать, что плоскости FEP и NKB параллельны, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые PF и FE плоскости FEP соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BN и NK плоскости BNK. Покажем это.

Найдём боковое ребро MB из треугольника MBO:

Отношения сторон равны. Используя условие, что ∠BMN общий, получим: ΔMPF ∼ ΔMBN. Из подобия треугольников следует, что ∠MPF = ∠MBN. Эти углы — соответственные, образованные при пересечении двух прямых PF и BN прямой MB. Значит, PF || BN. 2. Рассматривая треугольники MEF и MKN, можно аналогично доказать, что FE || NK. Так как две пересекающиеся прямые PF и FE плоскости PFE соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BN и NK плоскости NBK, то эти плоскости параллельны.

б) В ΔMKN MO₁ — высота, MO₁ = a √3 / 2 , где a — сторона ΔABC

MO₁ = 6 √3 / 2 = 3 √3.

Пусть O₂ — точка пересечения MO₁ и FE. Поскольку плоскость PFE параллель- на плоскости BNK, то расстояние от точки P до плоскости BNK равно расстоянию от точки O₂ до плоскости BNK, и оно равно длине отрезка O₂H, где точка H лежит на BO₁ и O₂H ⊥ BO₁. Докажем, что O₂H — расстояние от O₂ до плоскости BNK.

NK ⊥ MO₁ и NK ⊥ BO₁ (MO₁ и BO₁ — высоты ΔMNK и ΔNBK), значит, NK перпендикулярна плоскости MBO₁, и тогда NK перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе NK ⊥ O₂H. По построению O₂H ⊥ BO₁. Прямая O₂H перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BNK, значит, она перпендикулярна BNK, и отрезок O₂H равен расстоянию от O₂ до плоскости BNK.

В треугольнике O₂HO₁: O₂H = O₂O₁ sin ∠HO₁O₂.

O₂O₁ = MO₁ − MO₂.

Из ΔMEO₂: ∠MO₂E = 90◦ , ∠EMO₂ = 30◦ ;

Ответ: 3(12 - √21) / 8.