Две окружности касаются внешним образом...

Задание:

Две  окружности  касаются  внешним  образом  в  точке  K.  Прямая  АВ касается  первой окружности в точке  А, а второй  –  в точке  В. Прямая  BK пересекает первую окружность в точке  D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке С. 
а) Докажите, что прямые AD и BCпараллельны. 
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. 

Решение:

а)  Обозначим  центры  окружностей  О₁ и  О₂ соответственно.  Пусть  общая  касательная,  проведённая к окружностям в точке  K, пересекает  АВ в точке М. По свойству касательных, проведенных из  одной  точки,  АМ = KM  и  KM = BM.  Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. 

Вписанный  угол  AKD прямой,  поэтому  он  опирается  на  диаметр  AD.  Значит,  AD⊥AB. Аналогично,  получаем,  что  BC⊥ AB.  Следовательно, прямые AD и BC параллельны. 

б)  Пусть,  для  определенности,  первая  окружность имеет радиус 4, а вторая – радиус 1. 

Треугольники  ВKC  и  AKD  подобны, AD/BC = 4. Пусть S_BKC = S, тогда S_AKD = 16S.

Ответ: 3.2