Две окружности различных радиусов касаются друг...

Задание:

Две окружности различных радиусов касаются друг друга внешним образом. Их общие касательные, не проходящие через точку касания окружностей, пересекаются в точке О. При этом одна из касательных касается окружностей в точках А и С, считая от точки О, а другая — соответственно в точках В и D.

а) Докажите, что прямая АВ перпендикулярна биссектрисе угла, образованного указанными касательными.

б) Найдите расстояние от середины отрезка АВ до точки С, если радиусы окружностей равны 2 и 6.

Решение:

а) Рассмотрим рисунок. На нём O₁ и O₂ — центры окружностей (по свойству вписанной в угол окружности точки O₁ и O₂ лежат на биссектрисе ∠AOB), K и T — точки пересечения соответственно AB и CD c биссектрисой. O₁A и O₂C — радиусы окружностей, перпендикулярные касательной AC.

ΔO₁AO = ΔO₁BO по общей гипотенузе и острому углу, поэтому AO = BO. Таким образом, треугольник AOB является равнобедренным, и биссектриса OK угла O является высотой и медианой, поэтому точка K является серединой отрезка AB. Это и означает, что прямая AB перпендикулярна биссектрисе ∠AOB.

б) Пусть ∠AOO₁ равен α. Проведём через O₁ прямую O₁L, параллельную AC.

Тогда по свойству соответственных углов при параллельных прямых OC и O₁L и секущей OO₂ ∠LO₁O₂ = α. Но O₁O₂ = 2 + 6 = 8, а LO₂ = 6 − 2 = 4. Поэтому sin α = LO₂/O₁O₂ = 4/8 = 1/2 . Так как α — острый угол, то α = 300 , cos α = √3 / 2 , tg α =  1 / √3.

Заметим, что AO₁/OA = tg α = 1/√3 , OA = AO₁/tg α = 2/1/√3 = 2√3,

OK = OA * cos α = 2√3 * √3/2 = 3.

Аналогично OC = CO₂/tg α = 6/1/√3 = 6√3.

В ΔKOC по теореме косинусов 

KC² = OK² + OC² − 2 * OK * OC * cos α = 9 + 108 − 2 * 3 * 6√3 * √3/2 = 63, KC = √63 = 3√7.

Ответ: 3√7.