Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.

Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К1 так, что АК = BK1. Докажите, что: а) ОК = ОК1; б) точка О лежит на прямой КК1.

На сторонах равностороннего треугольника АBС отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Докажите, что середины сторон равнобедренного тре­угольника являются вершинами другого равнобедрен­ного треугольника.

На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если ВВ=СЕ, то ∠CAD=∠BAE и АВ=АС; б) если ∠CAD=∠BAE, то BD = CE и АВ=АС.

В треугольниках АBС и А₁B₁С₁ медианы AM и А₁М₁ равны, BС=B₁С₁ и ∠AMB=∠A₁M₁B₁. Докажите, что ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

Прямая а проходит через середину отрезка АВ и пер­пендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и B; б) каждая точ­ка, равноудаленная от точек А и B, лежит на прямой а.