Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.

Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и угол MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.

Докажите, что касательные, проведенные через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность.

Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.