Окружность, вписанная в остроугольный треугольник...

Задание:

Окружность, вписанная в остроугольный треугольник АВС, касается сторон В А и ВС в точках Е и F.

а) Докажите что центр окружности, вписанной в треугольник BEF, лежит на окружности, вписанной в треугольник АВС.

б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если АВ = ВС, BE = 13, EF = 10, S_BEF : S_ABC = 4:9.

Решение:

а) Пусть точка O — центр вписанной окружности ΔABC. Тогда O лежит на биссектрисе угла B.

Биссектриса BO пересекает дугу EF в точке M, а отрезок EF в точке K. BE = BF как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, отсюда ΔBEF — равнобедренный, значит, биссектриса BK является медианой и высотой. ΔMKE = ΔMKF по двум катетам (EK = KF, MK — общая сторона). Из равенства треугольников следует: EM = MF, а так как равные хорды стягивают равные дуги, то ◡ ME = ◡ MF.

Докажем, что M — центр окружности, вписанной в ΔBEF.

∠MEF = 1/2 ◡ MF как вписанный, ∠MEB = 1/2 ◡ ME как угол между касательной BE и хордой ME, а так как ◡ MF = ◡ ME, то ∠MEF = ∠MEB, поэтому EM — биссектриса угла BEF. Биссектрисы BK и EM прямоугольника BFE пересекаются в точке M, следовательно, M — центр вписанной окружности.

б) По доказанному в пункте а) центр вписанной окружности ΔBEF — точка M — лежит на вписанной окружности треугольника ABC, следовательно, искомое расстояние равно радиусу вписанной окружности треугольника ABC. В равнобедренном треугольнике BEF BE = BF = 13, EK = KF = 10 : 2 = 5.

В прямоугольном треугольнике BEK по теореме Пифагора

S_BEF = 1/2 * EF * BK = 1/2 * P_BEF * r, где r — радиус вписанной окружности;

r = (EF * BK) / P_ABC = (10 * 12) / (13 + 13 + 10) = 10/3.

По условию AB = BC, значит, AB/BC = BE/BF = 1; AB/BE = BC/BF.

ΔBEF ∼ ΔABC по второму признаку подобия (∠B — общий). Из подобия следует: MK/MO = k как радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники. S_BEF / S_ABC = k² = 4/9, k = 2/3.

MO = MK/k = (10 * 3) / (3 * 2) = 5.

Ответ: 5.