Точка М — центр окружности, описанной около остро...

Задание:

Точка М — центр окружности, описанной около остроугольного тре­угольника NPK , Q — центр вписанной в него окружности, W — точка пересечения высот. Известно, что ∠PNK = ∠MPK + ∠MKP .

а) Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника РМК .

б) Найдите угол MQW , если ∠NPK = 47°.

Решение:

а) Чтобы доказать, что точки P, M, Q и K лежат на одной окружности, можно воспользоваться одним из признаков, например доказать, что ∠PMK = ∠PQK. Найдём эти углы.

M — центр окружности, описанной около треугольника NP K, тогда как центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу, ∠PMK = 2∠PNK. Запишем сумму углов треугольника PMK и воспользуемся полученным и заданным в условии равенствами.

∠PMK + ∠MPK + ∠MKP = 2∠PNK + ∠PNK = 3∠PNK = 180◦ ,

∠PNK = 60◦ ; ∠PMK = 120◦ .

Q — центр вписанной в треугольник NP K окружности, поэтому Q — точка пересечения биссектрис треугольника.

∠PQK = 180◦ − (∠QPK + ∠QKP) = 180◦ − (∠NPK + ∠NKP)/2 .

∠PQK = 180◦ − (180◦ − ∠PNK)/2 = 180◦ − (180◦ − 60◦)/2 = 120◦.

Значит, ∠PMK = ∠PQK, поэтому точки P, M, Q и K лежат на одной окружности.

б) W — точка пересечения высот треугольника NPK. Найдём угол MQW, для этого докажем сначала, что и точка W лежит на той же окружности, что и точки P, M, Q и K.

Если провести высоту треугольника (например, из вершины P), то образуются прямоугольные треугольники, сумма острых углов каждого такого треугольника равна 90◦ . Например, ∠WPK + ∠PKN = 90◦, аналогично можно получить: ∠WKP + ∠NPK = 90◦ .

∠PWK = 180◦ − ∠WPK − ∠WKP = 180◦ − (90◦ − ∠PKN) − (90◦ − ∠NPK) = ∠PKN + ∠NPK = 120◦ , ∠PMK = ∠PQK = ∠PWK, потому точки P, M, Q, W и K лежат на одной окружности.

Так как ∠PNK = 60◦ , ∠NPK = 47◦ , получаем: ∠NKP = 73◦. В равнобедренном треугольнике PMK ∠MPK = (180◦ − ∠PMK)/2 = 30◦. Учитывая, что PW ⊥ NK, получаем: ∠WPK = 90◦ − ∠NKP = 17◦.

Отсюда ∠WPM = ∠MPK − ∠WPK = 13◦.

∠MPK = 30◦ , ∠QPK = ∠NPK/2 = 47◦/2 = 23,5 ◦ ,

∠KPW = 90◦−∠NKP = 90◦−73◦ = 17◦ , значит, ∠MPK > ∠QPK > ∠KPW, поэтому лучи PW, PQ и PM пересекают дугу окружности в порядке, указанном на рисунке. Четырёхугольник PMQW вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180◦ и ∠MQW = 180◦ − ∠WPM = 180◦ − 13◦ = 167◦.

Ответ: б) 167◦.