В основании пирамиды ABCD лежит правильный тр...

Задание:

В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Все боковые рёбра наклонены к основанию под одним и тем же углом.

а) Докажите, что прямая А В перпендикулярна плоскости, проходящей через середину ребра АВ и ребро DC.

б) Найдите расстояние между прямыми АВ и CD, если АВ = 6√3, AD = 5√3.

Решение:

а) Рассмотрим рисунок.

Так как все боковые рёбра наклонены под одним и тем же углом к основанию, то основание высоты пирамиды (на рис. это точка H) является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Но треугольник ABC — правильный, поэтому H является точкой пересечения высот (а значит, и медиан). Отсюда следует, что AB ⊥ CK и плоскостью, проходящей через середину ребра AB и ребро DC, будет плоскость KDC. По условию боковые рёбра пирамиды равны, поэтому треугольник ABD равнобедренный, DK является его медианой, значит, и высотой. Поэтому AB ⊥ DK. Получаем, что AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KDC, поэтому AB ⊥ KDC.

б) Проведём в треугольнике KDC высоту KT (см. рис.). Тогда, согласно доказанному в пункте а), AB ⊥ KT. Значит, KT является общим перпендикуляром к прямым AB и CD, а длина отрезка KT является расстоянием между прямыми AB и CD.

В равностороннем треугольнике ABC высота KC = AC * cos 300 = 6√3 * √3/2 = 9, KH = 1/3*KC = 3.

В прямоугольном треугольнике ADK

AK = 1/2*AB = 3√3,

 2 * S_KDC = KC * DH = KT * DC, KT = KC * DH/DC = 9√39 / 5√3 = 9√13 / 5.

Ответ: 9√13 / 5 .