В трапеции ABCD точка М — середина основания AD...

Задание:

В трапеции ABCD точка М — середина основания AD, точка N выбрана на стороне АВ так, что площадь четырёхугольника ANLM равна площади треугольника CLD, где L — точка пересечения отрезков СМ и DN.

а) Докажите, что N — середина стороны АВ.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции ABCD составляет площадь четырёхугольника ANLM , если ВС = 5, AD = 8.

Решение:

а) По условию S_ANLM = S_CLD, следовательно, S_ANLM + S_LMD = S_CLD + S_LMD, S_ANLM + S_LMD = S_AND, S_CLD + S_LMD = S_CMD, значит, S_AND = S_CMD. 2S_AND = 2S_CMD = S_ACD = S_ABD (треугольники ACD и ABD имеют общее основание AD и общую высоту). Итак, 2S_AND = S_ABD = S_AND + S_BND, откуда следует, что S_AND = S_BND, а это означает, что точка N — середина стороны AB (у треугольников AND и BND общая высота).

б) Пусть K — точка пересечения прямых CN и AD. Заметим, что S_ABCD = S_CKD (ΔAKN = ΔBCN по второму признаку равенства треугольников) и CL/CM = S_CLD/S_CMD.

Проведём MP || KC, тогда из подобия треугольников NCL и LMP (∠MLP = ∠NLC, ∠LPM = ∠CNL) CL/LM = CN/MP = KN/MP.

Из подобия треугольников KND и DMP (KN || MP)

KN/MP = KD/MD = 13/4 . Значит, CL/LM = KN/MP = 13/4 ; 4CL = 13CM − 13CL, 17CL = 13CM, следовательно, CL/CM = 13/17 = S_CLD/S_CMD, откуда S_CLD = 13/17*S_CMD.

S_CMD/S_CKD = MD/KD = 4/13, откуда S_CMD = 4/13 * S_CKD = 4/13 * S_ABCD. Подставляя S_CMD = 4/13 * S_ABCD в равенство S_CLD = 13/17 * S_CMD, получим S_CLD = 13/17 * S_CMD = 13/17 * 4/13 * S_ABCD = 4/17 * S_ABCD. Учитывая, что S_ANLM = S_CLD, окончательно получим: S_ANLM = 4/17 * S_ABCD.

Ответ: 4/17.