Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1...

Задание:

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Решение:

а) Пусть точка Н – середина АС. Тогда

Вместе с тем,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M. 

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A₁B₁. Тогда NP⊥ A₁B₁ и NP⊥ A₁A. Следовательно, угол NMP – линейный угол искомого угла. Длина NP равна половине высоты треугольника A₁B₁C₁, то есть 

Поэтому

Следовательно,