Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АБС; б) прямой KN и плоскости ABD.

Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер AB, AC и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.

Через середины ребер AB и BC тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Точки M и N  — середины ребер AB и AC тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.

В тетраэдре DABC дано: Угол(ADB) = 54°, Угол(BDC) = 72°, Угол(CDA) = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

Назовите все пары скрещивающихся (т. е. принадлежащих скрещивающимся прямым) ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?