На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1, на ребрах которого отмечены точки М, N, М1 и N1 так, что AM = CN= = А1М1 = C1N1. Докажите, что MBNDM1B1N1D1 — параллелепипед.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что АС   (Параллельно)А1С1 и BD || B1D1.

Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АБС; б) прямой KN и плоскости ABD.

Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер AB, AC и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.

Через середины ребер AB и BC тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Точки M и N  — середины ребер AB и AC тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.