Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Четырехугольник ABCD описан около окружности радиуса г. Известно, что АВ : СВ=2 : 3, AD : ВС= 2 : 1. Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна S.

Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.

Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.

Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.