Прямая y=3x − 16 является касательной к графику...

Задание:

Прямая y = 3x − 16 является касательной к графику функции y=x² + bx + 9. Найдите значение коэффициента b, если известно, что абсцисса точки касания положительна.

Решение:

* y₁ = 3x - 16
  y₂ = x² + bx + 9

* y₁ = y₂ ; 3x - 16 = x² + bx + 9
* Ищем производную от y₁ и y₂ и приравниваем:
   y₁' = y₂'; 3 = 2x + b

* b = 3 - 2x
* Подставим значение b в первое уравнение:
  3x - 16 = x² + bx + 9 
  x² + bx + 9 - 3x + 16 = 0
  x² + (3 - 2x)x + 9 - 3x + 16 = 0 
  x² + 3x - 2x² + 9 - 3x + 16 = 0
  -x² + 25 = 0
  x² = 25 
  x₁ = 5 - удовлетворяет условию.
  x₂ = -5 - не удовлетворяет условию, так как абсцисса положительна.
* Подставим значение x в уравнение b:
  b = 3 - 2x
  b = 3 - 2 * 5
  b = 3 - 10
  b = -7

Ответ: -7